Factorización

Factorizar, factorear o descomponer factorialmente un polinomio significa expresarlo como producto de otros polinomios.

Observación:

- Todo polinomio de grado 0 o 1 no se puede factorear.

- Todo polinomio de la forma xn + a0 siendo n par y a0 positivo, no se puede factorear. Por ejemplo, los polinomios x2 + 9 ; x4 + 1 no se pueden factorear.

- Una vez factorizado, se procede a determinar si cada uno de los factores (que son polinomios) se puede factorizar.

Casos de factorización:

a) Factor común:

Ejemplos:

1)

2)

3)

 

b) Trinomio cuadrado perfecto:

Según vimos en la unidad N°1, el cuadrado de un binomio es igual a un trinomio que tiene las siguientes características:

- Dos de sus términos son cuadrados: a² y b².

- a² y b² no deben estar precedidos por signos negativos.

- El término restante debe ser 2.a.b.

Se factoriza de la siguiente manera:

a² + 2.a.b + b² = (a + b)²

a² – 2.a.b + b² = (a – b)²

 

Observación: primero sacamos factor común -1, para que los términos cuadráticos no estén precedidos por signos negativos.

c) Cuatrinomio cubo perfecto:

Según vimos en la unidad N°1, el cubo de un binomio es igual a un cuatrinomio que tiene las siguientes características:

·- Dos de sus términos son cubos: a³ y b³.

- Los términos restantes son: 3.a².b y 3.a.b².

Se factoriza de la siguiente manera:

a³ + 3.a².b + 3.a.b² + b³ = (a + b)³

 

d) Diferencia de cuadrados:

Según vimos en la unidad N°1, la diferencia de cuadrados es igual a un producto que tiene las siguientes características:

a² – b² = (a + b) . (a – b)

e) Factor común por grupos:

Ejemplos:

1)

 

2)

3)

 

Según vimos en el ejemplo 1 de diferencia de cuadrados:
Entonces:

4)

 

Procedemos a factorizar

 

Entonces:

 

f) Factorización conociendo una raíz:

Si es una raíz de un polinomio P(x), entonces P(x) es divisible por (x ) y se puede factorizar de la siguiente manera:

P(x) = (x). C(x) siendo C(x) el cociente de dividir a P(x) por (x).

Observaciones:

· Si conocemos una raíz de un polinomio, entonces R(x) = 0

· Con en Teorema de Gauss podemos conocer, si posee, la o las raíces racionales de un polinomio (ver complementario)

Ejemplos: 1) P(x) = x³ – 27

Determinamos (ver ejemplo 1 de Complementario: Teorema de Gauss) que = 3 es raíz de P(x)

Entonces P(x) = x³ – 27 es divisible por x – 3

Hallamos C(x) utilizando la regla de Ruffini (notar en divisor x – 3 es de grado 1 y coeficiente principal 1)

 

 

  Entonces: C(x) = x2 + 3x + 9

    Luego  P(x) = (x – 3) . (x2 + 3x + 9)

 

  2) T(x) = 2x3 – 5x2 – 4x + 3

  Determinamos (ver ejemplo 2 de Complementario: Teorema de Gauss) que alfa = -1 es una raíz de T(x)

  Entonces T(x) es divisible por x – (-1) = x + 1

  Hallamos C(x) utilizando la regla de Ruffini (notar en divisor x + 1 es de grado 1 y coeficiente principal 1).

 

Entonces: C(x) = 2x2 – 7x + 3

Luego  T(x) = (x + 1) . (2x2 – 7x + 3)    *

Ahora, debemos factorizar C(x) = 2x2 – 7x + 3 (según ejemplo 2 de Complementario: Teorema de Gauss) que alfa= 3 es también una raíz de C(x).

Entonces C(x) es divisible por x – 3

Hallamos C2(x) utilizando la regla de Ruffini (notar en divisor x – 3 es de grado 1 y coeficiente principal 1).

 

 

 

Entonces: C2(x) = 2x –1

Luego  C(x) = (x – 3) . (2x – 1)

Reemplazando en * T(x) = (x + 1) . (x – 3) . (2x – 1)

 

g)  Factorización de polinomios de grado 2  conociendo las raíces (usando la fórmula resolvente):

      Si P(x) = ax2 + bx + c

      Entonces, si P(x) tiene raíces, las hallamos con la fórmula resolvente:

          

            Luego: P(x) = a (xx1) (xx2)

            Observaciones:

-        a 0 (porque el polinomio debe ser de grado 2)

-      Si P(x) = ax2 + c (es decir, si b = 0), entonces conviene factorizar usando “diferencia de cuadrados”. La aplicación de “diferencia de cuadrados” dependerá de los signos de los coeficientes a y c.

-       Si P(x) = ax2 + bx (es decir, si c = 0), entonces conviene factorizar usando “factor común” (siendo x el factor común de los dos términos).

 

      Ejemplos:        

 1) P(x) = x2 + x – 2    (a = 1 ;  b = 1 ;  c = -2)

Entonces, si P(x) tiene raíces, las hallamos con la fórmula resolvente: 

                                                                                                                                                                        

   Luego: P(x) = 1 (x – 1) (x – (-2))

   P(x) =  (x – 1) (x + 2)

 

   2) Q(x) = 2x2 + 16x + 30    (a = 2 ;  b = 16 ;  c = 30)

Entonces, si Q(x) tiene raíces, las hallamos con la fórmula  resolvente:

        Luego: Q(x) = 2 (x – (-3)) (x – (-5))

      Q(x) = 2 (x + 3) (x + 5)

 

 3) S(x) = -x2 x +     (a = -1 ;  b = - ;  c = )

Entonces, si S(x) tiene raíces, las hallamos con la fórmula resolvente:

                                    Luego: S(x) = -1 (x – (-3)) (x)

                                                   S(x) = - (x + 3) (x)

   4) T(x) = x2 + 3x + 9    (a = 1 ;  b = 3 ;  c = 9)

Entonces, si T(x) tiene raíces, las hallamos con la fórmula resolvente:

                                      

  Pero no tiene solución en el conjunto de los números  reales.

  Entonces T(x) no se puede factorizar.

 

Veamos ahora algunos ejemplos donde se combinan algunos de los casos anteriores:

   1) 

       Por factor común:   *

       Ahora factorizamos el polinomio  usando la fórmula resolvente:

 a = 1 ;  b = -2 ;  c = -3                                                                                                              

Luego:

Reemplazando la expresión anterior en *;

  

2)

       Por factor común:    *

       Ahora factorizamos el polinomio  usando diferencia de cuadrados:

                           

                                

      Reemplazando la expresión anterior en *;   *

      El polinomio no se puede factorizar en el conjunto de los números reales

      Después factorizamos  usando otra vez diferencia de cuadrados:

Reemplazando la expresión anterior en *;

 


Ingreso Semipresencial de Matemática - UNNOBA - Profesoras Juliana D’Andrea, Natalia Martín, Sabrina Pompei y Yanina Barreto